- 试题详情及答案解析
- 已知在平面直角坐标系
中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为
，右顶点为
，设点
．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过原点
的直线交椭圆于点
，求
面积的最大值．- 答案：（Ⅰ）
（Ⅱ）
- 试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体解法是先确定焦点的位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．（Ⅱ）与圆锥曲线相关的最值、范围问题综合性较强，解决的思路有两种：一是由题目中的限制条件求范围，如直线与圆锥曲线的位置关系中Δ的范围，方程中变量的范围，角度的大小等；二是将要讨论的几何量如长度、面积、代数式等用参数表示出来，再对表达式进行讨论，应用不等式、三角函数等知识求最值，在解题过程中注意向量，不等式的应用．
试题解析：（Ⅰ）由已知得椭圆的半长轴
，半焦距
，则半短轴
．
又椭圆的焦点在
轴上，∴椭圆的标准方程为． 4分
（Ⅱ）当直线
垂直于轴时，
，因此的面积
．
当直线不垂直于轴时，该直线方程为
，代入，
解得B（
,
），C（－,－），
则
，又点A到直线的距离
，
∴△ABC的面积
．
于是
．
由
，得
，其中当
时，等号成立．
∴
的最大值是． 10分
考点：椭圆方程及综合问题