- 试题详情及答案解析
- 设有数列{an},a1=,若以a1,a2,a3,……,an中相邻两项为系数的二次方程an-1x2-anx+1=0都有相同的根α、β,且满足3α-αβ+3β=1,
(1)求证:{an-}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)求数列{an}的前5项和S5.- 答案:(1)见解析;(2)an=()n+;(3)
- 试题分析:(1)等比数列的判定方法:(1)定义法:若=q(q为非零常数,n∈N*)或=q(q为非零常数且n≥2,n∈N*),则数列{an}是等比数列.(2)等比中项法:若数列{an}中,an≠0且=an·an+2(n∈N*),则数列{an}是等比数列.(2)利用第一问即可求解;(3)利用数列求和中的分组求和法解觉.
试题解析:数列{an},,若以a1,a2,a3,……,an中相邻两项为系数的且满足
(1)∵二次方程an-1x2-anx+1=0有实数根αn、βn,
∴,代入3(αn+βn)-αnβn=1得an=an-1+,
∴== (定值),∴ 数列{an-}是等比数列;
(2)a1=,a1-=,又数列{an-}是公比为的等比数列,
∴an-=(a1-)·()n-1=()n,∴an=()n+;
(3)S5=a1+a2+a3+a4+a5
=(+)+[()2+]+[()3+]+[()4+]+[()5+]
=+()2+()3+()4+()5+
=+=+=.
考点:数列及其综合应用