- 试题详情及答案解析
- （本题满分14分）已知函数
（其中
是常数）.
（1）若当
时,恒有
成立,求实数的取值范围；
（2）若存在
,使
成立,求实数的取值范围；- 答案：（1）
（2）
- 试题分析：第一步是恒成立问题，应用换元法把问题转化成恒成立问题，再借助求函数的最值得以解决。第二步要注意“存在”二字，属于存在性问题，
试题解析：（1）法一：
,令
,当时,
.
当时，
恒成立. 由于
在
上是减函数，在
上是增函数，由于
于是,只需在
上的最大值是
，依题意只需
,即
,解得
.
实数的取值范围是
法二：,令,当时,.
当时，恒成立.即：
，设
当
时，
取得最小值为
，所以
；
（2）法一：若存在,使,则存在
,使.
于是,只需在上的最小值
,即
,解得
实数的取值范围是
法二：若存在,使,则存在,使. 即：存在
，
使得
成立，由于
时，
取得最大值是
，所以
，实数的取值范围是
考点：1.恒成立问题的解题方法；2.存在性问题的解题方法；3.函数的最大值与最小值的求法；4.二此函数的图象与性质。