- 试题详情及答案解析
- （本小题满分14分）已知圆C的圆心在坐标原点O，且与直线
相切．
（1）求直线
被圆C所截得的弦AB的长；
（2）若与直线
垂直的直线与圆C交于不同的两点P，Q，且以PQ为直径的圆过原点，求直线的纵截距；
（3）过点G(1,3)作两条与圆C相切的直线，切点分别为M,N，求直线MN的方程．- 答案：（1）
；（2）2或-2；（3）
- 试题分析：（1）已知得圆的半径为圆心到直线的距离，求得半径r=2，所以圆
的标准方程为：
；通过半弦长与半径、弦心距的关系求得弦AB长为；（2）由已知可设直线
的方程为：
，联立圆的方程化简得
，
得
，由根与系数的关系得
，又
，所以
,变形化简得
满足
，解得b=2或-2；（3）由题意知点M、N在以
点为圆心，线段
长为半径的圆G上，而
，所以
，圆G的方程为
，与圆C的方程相减得公共弦MN的方程；
试题解析：（1）由题意得：圆心
到直线
的距离为圆的半径，
，所以圆的标准方程为：
所以圆心到直线
的距离
（2）设直线的方程为：
联立得：，
设直线与圆的交点
，
由
，得，
（3）
因为，所以,即满足
，
又
，
所以
（4）
由（3）（4）得
，满足，即
（3）因为点
,所以
,
所以以点为圆心，线段长为半径的圆方程： （1）
又圆方程为： （2），由
得直线
方程：
考点：直线与圆的位置关系与向量的数量积运算的应用