- 试题详情及答案解析
- 如图，在斜三棱柱
中，
是
的中点，
⊥平面
，
，
．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值.- 答案：（Ⅰ）答案详见解析；（Ⅱ）
．- 试题分析：（Ⅰ）要证明直线和直线垂直，只需证明直线和平面垂直，将其中的一条直线置于与另一条直线垂直的平面内，本题易证
面
，从而
，由已知得四边形是菱形，故
，从而可证
面
，进而证明；（Ⅱ）选三条两两垂直的直线为
轴建立空间直角坐标系，如图所示，用坐标表示相关点，求两个半平面
和
的法向量，并求两法向量夹角，通过观察二面角是钝角还是锐角决定余弦值的正负．
试题解析：（Ⅰ）因为
⊥平面
，所以
.又
，
所以
平面
，所以
.
因为
，所以四边形是菱形，所以
.
所以
平面
，所以
． 5分
（Ⅱ）以
为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系
，
则
，
，
，
.
，
，
设
是面
的一个法向量，则
，
即
，令
，取
.
同理面
的一个法向量为
． 10分
因为
.
所以二面角
的余弦值
． 12分
考点：1、直线和平面垂直的判定和性质；2、二面角.