- 试题详情及答案解析
- 已知函数
，
，
是常数．
（1）求函数
的图象在点
处的切线方程；
（2）若函数图象上的点都在第一象限，试求常数
的取值范围；
（3）证明：
，存在
，使
．- 答案：（1）
；（2）
；（2）答案详见解析． - 试题分析：（1）首先求导函数
，由导数的几何意义得所求切线的斜率为
，利用直线的点斜式方程求出的图象在点处的切线方程；（2）由，故函数图象上的点都在第一象限等价于
恒成立，当
时，
，满足；当
时，显然不满足；当
时，参变分离为
，求右侧函数的最小值即可，从而得关于的不等式，解不等式的的取值范围；（3）依题意，存在，使等价于方程函数
有零点.
试题解析：（1）函数的定义域为
,
，
函数的图象在点
处的切线为，
即
4分
（2）①时，，因为，所以点
在第一象限，依题意，
②时，由对数函数性质知，
时，
，
，从而“
，”不成立
③时，由得，设
，
，从而
，
综上所述，常数的取值范围 8分
（3）计算知
设函数
，
当
或
时，
，
因为
的图象是一条连续不断的曲线，所以存在，使
，即，使
；
当
时，
、
，而且、
之中至少一个为正，由均值不等式知，
，等号当且仅当
时成立，所以
有最小值
，且
，
此时存在（
或
），使
综上所述，，存在，使 12分
考点：1、导数几何意义；2、利用导数求函数的极值、最值.
