- 试题详情及答案解析
- 正方形ABCD中，将一个直角三角板的直角顶点与点A重合，一条直角边与边BC交于点E（点E不与点B和点C重合），另一条直角边与边CD的延长线交于点F.
（1）如图①，求证：AE="AF;"
（2）如图②，此直角三角板有一个角是45°，它的斜边MN与边CD交于G，且点G是斜边MN的中点，连接EG，求证：EG="BE+DG;"
（3）在（2）的条件下，如果
= 
，那么点G是否一定是边CD的中点?请说明你的理由.- 答案：
- 试题分析：（1）根据正方形的性质得出∠ABC=∠ADF=90°，进而得出△ABE≌△ADF，即可得出AE=AF；
（2）连接AG，利用全等三角形的判定得出△AEG≌△AFG（SAS），进而得出EG=BE+DG；
（3）首先设AB=5k，GF=6k，再假设BE=x，则CE=6k-x，EG=5k，得出CF=CD+DF=6k+x，CG=CF-GF=6k+x-5k=k+x，进而利用勾股定理得出x的值，进而比较得出答案．
试题解析：（1）正方形ABCD中，AB=AD，
∠ABC=∠ADC=∠BAD= 90°
∴∠ABC=∠ADF=90°,
∵∠EAF=90°∴∠BAE=∠DAF
∴
≌
,
∴AE=AF
（2）连接AG，
∵点G是斜边MN的中点，
∴∠EAG=∠FAG=45°
AG=AG,则
≌
∴EG=GF
∴EG=DG+DF
∵BE=DF
∴EG=BE+DG
（3）设
，
，
设
，则
，
,
∴
中，
∴
即
解得
∴
或
两种情况都成立，
∴点G不一定是边CD的中点.
考点：正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理