- 试题详情及答案解析
- 已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点M是边AC上一动点（与点A、C不重合），点N在边CB的延长线上，且AM=BN，连接MN交边AB于点P．
（1）求证：MP=NP；
（2）若设AM=x，BP=y，求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）当△BPN是等腰三角形时，求AM的长．- 答案：（1）见解析
（2）y与x之间的函数关系式为
，它的定义域是0＜x＜4
（3）
- 试题分析：（1）过点M作MD∥BC交AB于点D，求出DM=BN，证△MDP≌△NBP即可；
（2）求出AB，根据△MDP≌△NBP推出DP=BP，推出方程
即可；
（3）求出BP=BN，所得方程的解即可．
（1）证明：过点M作MD∥BC交AB于点D，
∵MD∥BC，
∴∠MDP=∠NBP，
∵AC=BC，∠C=90°，
∴∠A=∠ABC=45°，
∵MD∥BC，
∴∠ADM=∠ABC=45°，
∴∠ADM=∠A，
∴AM=DM．
∵AM=BN，
∴BN=DM，
在△MDP和△NBP中
，
∴△MDP≌△NBP，
∴MP=NP．
（2）解：在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，AC=BC=4，
∴
．
∵MD∥BC，
∴∠AMD=∠C=90°．
在Rt△ADM中，AM=DM=x，
∴
．
∵△MDP≌△NBP，
∴DP=BP=y，
∵AD+DP+PB=AB，
∴，
∴所求的函数解析式为
，
定义域为0＜x＜4．
答：y与x之间的函数关系式为，它的定义域是0＜x＜4．
（3）解：∵△MDP≌△NBP，
∴BN=MD=x．
∵∠ABC+∠PBN=180°，∠ABC=45°，
∴∠PBN=135°．
∴当△BPN是等腰三角形时，只有BP=BN，即x=y．
∴
，
解得
，
∴当△BPN是等腰三角形时，AM的长为．
答：AM的长为．
点评：本题主要考查对等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键．