- 试题详情及答案解析
- （本题12分）结论:在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2， PB=
， PC=1．求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．
李明同学做了如图2所示的辅助线：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形，连接PP′，从而问题得到解决．你能说说其中的理由吗？
请你参考李明同学的思路，解决下列问题：
如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=
，BP=
，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．- 答案：见解析
- 试题分析：（1）根据旋转得出AP′=CP=1，BP′=BP=
，∠PBC=∠P′BA，∠AP′B=∠BPC，求出∠ABP′+∠ABP=60°，得到等边△BPP′，推出PP′=，∠BP′P=60°，求出∠AP′P=90°即可求出∠BPC；过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，由∠MP′B=30°，求出BM=
，P′M=
，根据勾股定理即可求出答案；
（2）求出∠BEP=
（180°﹣90°）=45°，根据勾股定理的逆定理求出∠AP′P=90°，推出∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°；过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，求出FE=BF=1，AF=2，关键勾股定理即可求出AB．
试题解析：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
将△BPC绕点B顺时针旋转60°得出△ABP′，
∴AP′=CP=1，BP′=BP=，∠PBC=∠P′BA，∠AP′B=∠BPC，
∵∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，
∴∠ABP′+∠ABP=∠ABC=60°，
∴△BPP′是等边三角形，
∴PP′=，∠BP′P=60°，
∵AP′=1，AP=2，
∴AP′2+PP′2=AP2，
∴∠AP′P=90°，
∴∠BPC=∠AP′B=90°+60°=150°，
过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，
∴∠MP′B=30°，BM=，
由勾股定理得：P′M=，
∴AM=1+=
，
由勾股定理得：AB=
=
，
（2）将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB，
与（1）类似：可得：AE=PC=1，BE=BP=
，∠BPC=∠AEB，∠ABE=∠PBC，
∴∠EBP=∠EBA+∠ABP=∠ABC=90°，
∴∠BEP=（180°﹣90°）=45°，
由勾股定理得：EP=2，
∵AE=1，AP=
，EP=2，
∴AE2+PE2=AP2，
∴∠AEP=90°，
∴∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°，
过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F；
∴∠FEB=45°，
∴FE=BF=1，
∴AF=2；
∴在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB=；
∴∠BPC=135°，正方形边长为 ．
答：∠BPC的度数是135°，正方形ABCD的边长是．
考点：1.等边三角形的性质2.勾股定理