- 试题详情及答案解析
- （本小题满分13分）已知函数f （x）＝ln x－a2x2＋ax （a∈
)．
（1）当a＝1时，求函数f （x)的单调区间；
（2）若函数f （x)在区间 （1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围．- 答案：（1）函数
的单调递增区间是
，单调递减区间是
;
（2）实数a的取值范围是
． - 试题分析：（1）当
时，
，定义域是
．首先求得：
，再利用导数的符号判断函数
的单调性并求单调区间；
（2）首先求出函数的导数
，因为函数f （x)在区间 （1，＋∞)上是减函数，所以所以
在上恒成立；转化为二次函数、二次方程与二次不等式问题．
试题解析：解：（Ⅰ）当时，，定义域是．
，
由
，解得
；由
，解得
；
所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是． 5分
（2）（法一）
因为函数在区间
上是减函数，所以在上恒成立，
则
，即
在上恒成立． 7分
当
时，
，所以不成立． 9分
当
时，
，
，对称轴
．
，即
，解得
所以实数a的取值范围是
． 13分
（法二）
，定义域是．
①当时，
在区间上是增函数，所以不成立． 8分
②时，
令
，即
，则
， 9分
（1）当
时，由，解得
，
所以函数的单调递减区间是
．
因为函数在区间上是减函数，+所以
，解得
． 11分
（2）当
时，由，解得
，
所以函数的单调递减区间是
．
因为函数在区间上是减函数，所以
，解得
．
综上实数a的取值范围是． 13分
考点：1、导数在研究函数性质中的应用；2、二次函数、二次方程与一元二次不等式综合问题；3、等价转化的思想与数形结合的思想．