- 试题详情及答案解析
- （本小题满分14分）已知函数
（1）求函数
的最大值；
（2）设
其中
，证明: 
＜1．- 答案：（1）0； （2）详见解析．
- 试题分析：（1）由
得：
然后利用导数研究函数的单调性并求其最大值；（2）由（1）的结果知，当
时，
；当
时，，可构造函数
证明结论成立．
试题解析：解：（1） 2分
当
时，f¢(x)＞0，f(x)单调递增； 4分
当
时，f¢(x)＜0，f(x)单调递减． 6分 
0 
＋ 0 － 
↗ 极大值 ↘
所以f(x)的最大值为f(0)＝0． 7分
（2）由（1）知，当时，
9分
当时，
等价于
设，则
．
当
时，
则
从而当时，
，
在
单调递减． 12分
当时，
即
，
故g(x)＜1．
综上，总有g(x)＜1． 14分
考点：1、导数在研究函数性质中的应用；2、函数的思想在证明不等式中的应用．