- 试题详情及答案解析
- （本小题满分13分）已知椭圆C：
的离心率为
，其四个顶点组成的菱形的面积是
，O为坐标原点，若点A在直线
上，点B在椭圆C上，且
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求线段AB长度的最小值；
（3）试判断直线
与圆
的位置关系，并证明你的结论．- 答案：（1）
； （2）线段AB长度的最小值为
；（3）直线AB与圆
相切． - 试题分析：（1）由题设可列方程组
，解得
的值，从而确定椭圆C的方程；
（2）设点A，B的坐标分别为
，其中
，结合条件，把
表示成
的函数再求其最值．
（3）设点A,B的坐标分别为，其中．写出直线AB的方程，求出原点到直线AB的距离
，并结合条件
判断与圆的半径的关系，从而得到直线与圆的位置关系．
试题解析：解：（1）由题意，解得
．
故椭圆C的标准方程为． 3分
（2）设点A，B的坐标分别为，其中，
因为，所以，即
， 4分
解得
，又
，
所以
=
=
=
=
， 5分
因为
，当且仅当
时等号成立，所以
，
故线段AB长度的最小值为． 7分
（3）直线AB与圆相切． 8分
证明如下：
设点A,B的坐标分别为
，
，其中．
因为，所以
，即
，解得． 9分
直线AB的方程为
，
即
， 10分
圆心O到直线AB的距离
, 11分
由
，，
故 
，
所以 直线AB与圆相切． 13分
考点：1、椭圆的标准方程与简单几何性质；2、两点间的距离公式与点到直线的距离公式；3、直线与圆的位置关系．