- 试题详情及答案解析
- （本小题满分13分）已知数列
满足
，
，数列的前n项和为
,
，其中
．
（1）求
的值；
（2）证明：数列
为等比数列；
（3）是否存在
，使得
若存在，求出所有的n的值；若不存在，请说明理由．- 答案：（1）
；（2）详见解析；（3）存在唯一的
，使得
成立．- 试题分析：（1）由
，根据递推公式可求得
，所以有
．
（2）由题设知：
，由此可证数列为等比数列；
（3）由 （2）知
，所以
．
由于
，则令
由题设中的递推公式易得：
由此求出求出
的表达式，将原问题转化为函数方程问题．
试题解析： 解：（1）因为，所以．
（或者根据已知
，可得
．） 3分
（2）证明：,
，故数列是首项为1，公比为－2的等比数列． 7分
（3）由（2）知，
所以．
设
，
又
．
则由，得
，
设
，
则
，
，所以
在
上单调递增，
，即
，所以
在上单调递增
又因为
，
所以仅存在唯一的，使得成立． 13分
考点：1、数列的递推公式；2、等差数列与等比数列；3、用函数方程的思想解决数列问题．