- 试题详情及答案解析
- （本题满分12分）设
、
分别是椭圆
的左、右焦点．
（1）若
是该椭圆上的一个动点，求
的取值范围;
（2）设过定点
的直线
与椭圆交于不同的两点
，且∠
为锐角（其中
为坐标原点），求直线的斜率
的取值范围．
（3）设
是它的两个顶点，直线
与AB相交于点D，与椭圆相交于
两点．求四边形
面积的最大值- 答案：（1）
，（2）
或
（3）
． - 试题分析：与圆锥曲线相关的最值、范围问题综合性较强，解决的思路有两种：一是由题目中的限制条件求范围，如直线与圆锥曲线的位置关系中Δ的范围，方程中变量的范围，角度的大小等；二是将要讨论的几何量如长度、面积、代数式等用参数表示出来，再对表达式进行讨论，应用不等式、三角函数等知识求最值，在解题过程中注意向量，不等式的应用．
试题解析：易知
所以
，设
，则
故． 2分
（2）显然直线
不满足题设条件，可设直线
，
联立
，消去
，整理得：
3分
∴
由
得：
5分
又0°<∠MON<90°
cos∠MON>0
>0 ∴
又
∵
，即
∴
故由①、②得或 7分
（3）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点
到
的距离分别为
，
． 9分
又
，所以四边形的面积为
=
， 11分
当
，即当
时，上式取等号．所以
的最大值为． 12分
解法二：由题设，
，
．
设
，
，由①得
，
， 9分
故四边形的面积为
， 11分
当
时，上式取等号．所以的最大值为． 12分
考点：圆锥曲线相关的最值、范围问题综合．