- 试题详情及答案解析
- （本小题满分14分）已知函数
，其中常数
.
（Ⅰ）当
时，求函数
的极值点；
（Ⅱ）证明：对任意
恒成立；
（Ⅲ）对于函数
图象上的不同两点
，如果在函数图象上存在点
（其中
）,使得在点M处的切线
∥AB，则称直线AB存在“伴侣切线”．特别地，当
，又称直线AB存在“中值伴侣切线”．
试问：当
时，对于函数图象上不同两点A、B，直线AB是否存在“中值伴侣切线”,并证明你的结论．- 答案：（Ⅰ）
为函数的极大值点，
为函数的极小值点；
（Ⅱ） 详见解析；
（Ⅲ）不存在“中值伴侣切线”，详见解析. - 试题分析：（Ⅰ））当时，
，先求
，再结合导数的符号研究函数的单调性并求出极值点；
（Ⅱ） 令
利用导数研究此函数的最值，证明
即可；
（Ⅲ）当，
，
，假设函数存在“中值伴侣切线”.
设A
,是曲线
上的不同点，且
，
利用斜率公式求出
,由导数的几何意义得处切线 的斜率
，结合（Ⅱ）的结果可知方程
无解.
试题解析：（Ⅰ）当时，
1分，
时
当
或
时
，即在
上单调递增 2分，
当
时，
，在
上单调递减 3分，
为函数的极大值点，为函数的极小值点 4分
（Ⅱ）令 
6分
所以
在
上递增,
（当且仅当x=1时等号成立），
即证： 对任意恒成立； 8分
（Ⅲ）当，，，假设函数存在“中值伴侣切线”.
设A,是曲线上的不同点，且，
则直线AB的斜率：
9分
曲线在点处的切线斜率：
10分
依题意：,即
化简得
，11分
即
设
，上式化为
, 12分
由（2）知
时，
恒成立.所以在
内不存在
,使得成立.
综上所述，假设不成立.所以，函数不存在“中值伴侣切线” 14分
考点：1、导数的几何意义；2、导数在研究函数性质中的应用.