- 试题详情及答案解析
- （本小题满分14分）设曲线
在点
处的切线斜率为
，且
。对一切实数，不等式
恒成立
（Ⅰ）求
的值。
（Ⅱ）求函数的表达式；
（Ⅲ）求证：
- 答案：（Ⅰ）
；（Ⅱ）
；（Ⅲ）详见解析．- 试题分析：（Ⅰ）由对一切实数
，不等式恒成立，令
即可；
（Ⅱ）由题意：
，根据
及恒成立建立关于
的关系式即可确定的值进而得到函数的表达式；
（Ⅲ）由（Ⅱ）的结果知：
于是可利用
，运用放缩法证明不等式成立；也可根据所证不等式的特点用数学归纳法证明．
试题解析：解：（Ⅰ）由对一切实数，不等式恒成立
得
， 
3分
（Ⅱ）
由得
得 
5分
又恒成立
则由
恒成立得
7分
同理由
恒成立得
8分
综上，
9分
（Ⅲ）
10分
要证原不等式，即证：
11分
14分
注：第（Ⅲ）小题也可用数学归纳法证明。
考点：1、导数的几何意义；2、函数解析式的求法；3、数列求和与不等式的证明．