- 试题详情及答案解析
- 若直线
与曲线
满足下列两个条件：
直线在点
处与曲线相切；
曲线在点
附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线. 下列命题正确的是__ ____（写出所有正确命题的编号）
①直线
在点
处“切过”曲线：
②直线
在点
处“切过”曲线：
③直线
在点
处“切过”曲线：
④直线
在点
处“切过”曲线：
- 答案：①③
- 试题分析：①因为，所以
，所以曲线：在点处的切线为，且当
时，
；当
时
；即曲线：在点附近位于直线的两侧；所以①正确.
②设
，则
当
时，
，函数
在区间
上为减函数；
当
时，
，函数在区间
上为增函数；
所以
，即
在
上恒成立，所以曲线：总在直线下方，不合定义，所以命题②不正确；
③因为，所以
，所以曲线：在点
处的切线为，设
，则
，所以函数为减函数；
又
，
所以当
时，
即
；曲线：在切线的下方；
所以当
时，
即
；曲线：在切线的上方；
所以命题③正确；
④设
，则
当
时，
当 时，
，函数在区间
上为减函数；
当 时，
，函数在区间 上为增函数；所以
，即在上恒成立，所以曲线：总在直线上方，不合定义，所以命题④不正确.
综上可知，正确的命题只有①③，所以答案应填：①③.
考点：1、新定义；2、导数的几何意义；3、导数在研究函数性质中的应用.