- 试题详情及答案解析
- （本小题满分13分）如图，三棱柱
中，
面
，
,
，
，
为
的中点。
（Ⅰ）求证：
面
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值- 答案：（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）
． - 试题分析：（Ⅰ）连接B1C，交BC1于点O，则O为B1C的中点，要证B1A∥平面
,只要利用三角形中位线的性质证明
即可；
（Ⅱ）由题设易知
两两互相垂直，以C为坐标原点，
所在直线为x轴，
所在直线为y轴，
所在直线为z轴建立空间直角坐标系，设平面
的法向量为
,结合平面BDC的法向量为
,利用向量的夹角公式求出二面角的余弦值．
试题解析：解：（1）连接B1C，交BC1于点O，则O为B1C的中点，
∵D为AC中点， ∴OD∥B1A 2分
又B1A
平面BDC1，OD
平面BDC1
∴B1A∥平面BDC1 4分
（也可证明
且AB1平面BDC1）
（2）∵AA1⊥面ABC，BC⊥AC，AA1∥CC1
∴CC1⊥面ABC 则BC⊥平面AC1，CC1⊥AC
如图以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系， 则C1（0,0,3）B（0,2,0）D（1,0,0）C（0,0,0） 7分
∴设平面
的法向量为
，由
得
，即
，取
， 则
9分
又平面BDC的法向量为
10分
cos
11分
又二面角C1—BD—C为锐二面角 12分
∴二面角C1—BD—C的余弦值为 13分
考点：1、空间直线与平面的位置关系；2、利用空间向量解决立体几何中的夹角问题．