- 试题详情及答案解析
- （本小题满分12分）已知椭圆
：
（
）的长半轴长为2，离心率为
，左右焦点分别为
，
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线
与椭圆交于
，
两点，与以
，
为直径的圆交于
，
两点，且满足
，求直线
的方程．- 答案：（Ⅰ）
；
（Ⅱ） 直线的方程为
或
.- 试题分析：（Ⅰ）由题设可知，
结合
即可求得
从而得到椭圆的标准方程；
（Ⅱ） 由题设，以
为直径的圆的方程为
，利用原点到直线的距离
将弦CD的长表示为
的函数
，类似地，利用直线与椭圆的位置关系，结合方程组
消去
所得的一元二次方程
和韦达定理将线段AB的长也表示成 的函数，并由确定的值，从而得到所求的直线方程.
试题解析：（Ⅰ）由题设知
2分
解得
∴ 椭圆的方程为． 4分
（Ⅱ）由题设，以为直径的圆的方程为， 5分
∴ 圆心的直线的距离，由
得
．（*） 6分
∴
． 7分
设
由，得， 8分
由求根公式可得
． 9分
∴
． 10分
由得
， 解得
，满足（*）． 11分
∴ 直线的方程为或． 12分
考点：1、椭圆的标准方程与简单几何性质；2、直线与圆的位置关系；3、直线与椭圆的位置关系综合问题.