- 试题详情及答案解析
- （本小题满分13分）如图，多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，正方形ADEF的边长为2，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB＝2，CD＝4．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面BDE；
（Ⅱ）试在平面CDE上确定点P，使点P到直线DC、DE的距离相等，且AP与平面BEF所成的角等于30°．- 答案：（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析．
- 试题分析：（Ⅰ）由题设平面ADEF⊥平面ABCD及正方形ADEF可知
平面
，所以
因此要证BC⊥平面BDE，只要用勾股定理证明
即可；也可以利用
两两互相垂直建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积证明；
（Ⅱ）利用 两两互相垂直建立空间直角坐标系，令
是平面
的一个法向量，则由
求出向量的坐标，利用向量的夹角公式列方程求出点
的坐标．
试题解析：
（Ⅰ）解法一：
证明：因为平面
平面 ,
所以 平面 1分
又因为
平面
所以 2分
在直角梯形中
所以，
3分
所以， 4分
又因为
所以
平面
． 5分
解法二：
因为平面 平面 ,
所以 平面 1分
所以 两两互相垂直
以点
为原点，直线
分别为
轴，
轴，
轴建立如下图所示的空间直角坐标系
则
2分
所以
3分
所以，
4分
又因为
所以 平面． 5分
（Ⅱ）因为平面 平面 ,
所以 平面
所以 两两互相垂直
以点 为原点，直线 分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系
则
6分
设
，则
令 是平面 的一个法向量，则
所以
，令
，得
所以
8分
因为
与平面所成的角等于
，
所以与所成的角为
或
所以
10分
所以
又因为 ，所以
或
11分
当时，（*）式无解
当时，解得：
12分
所以，
或
13分
考点：1、空间直线与平面的位置关系；2、空间向量在立体几何中的应用．