- 试题详情及答案解析
- （本小题满分14分）
设
是函数
的一个极值点．
（1）求
与
的关系式（用表示），并求
的单调区间；
（2）设
，若存在
，使得
成立，求实数的取值范围．- 答案：（1）当
时，单增区间为：
；单减区间为：
、
；
当
时，单增区间为：
；单减区间为：
、
；
（2）
.- 试题分析：（1）由题意得：
，可得
，
有
且
；
得
，
由于是函数的一个极值点得到
，即
确定与的关系式
讨论（1）当时；（2）当时的单调区间；
（2）由（1）知
在
上的值域为
，
在上的值域为
由于
，必须且只须
即可.
试题解析：（1）∵
∴
由题意得：，即
，
∴且
令
得，
∵是函数的一个极值点
∴，即
故与的关系式
当时，
，由
得单增区间为：；
由
得单减区间为：、；
当时，
，由得单增区间为：；
由
得单减区间为：、；
（2）由（1）知：当
时，
，在
上单调递增，在
上单调递减，
，
在上的值域为
易知，
在上是增函数
在上的值域为
由于
又
要存在存在，使得成立，
必须且只须，解得
所以，实数的取值范围为.
考点：1.应用导数研究函数的单调性、极值、最值；2.函数的值域；3.转化与化归思想.