- 试题详情及答案解析
- （本小题满分14分）已知函数
，
.
（1）求函数
的单调递增区间；
（2）若函数
有两个零点
，且
，求实数
的取值范围并证明
随的增大而减小.- 答案：（1）
的单调递增区间为
，
；（2）
的取值范围是
.证明详见解析. - 试题分析：（1）导数大于0，则为增函数，导数小于0则为减函数.将
求导得
，当
时，
对
恒成立，的单调递增区间为
；当
时，由
得：
，或
， 所以的单调递增区间为，；（2）
，得
.显然是
的极大值点，要使得有两个零点，必须
>0, 即
，从而得的取值范围是.
是函数
的两个零点，所以
，
，相减消去得：
.设
，则
，且
解得
，
.所以
. 令
，
，再利用导数可知
在
上单调递增，由此可得
随着
的增大而增大.下面再来研究
与的关系.因为是函数的两个零点，即，，则
，
，
，
.设
，则
，所以
在
上单调递增，在
上单调递减. 对于任意的
，方程
都有两个解，这两个解就是.如下图：
设
，设
，则必有
，其中
；
，其中
.因为在
上单调递增，故由，即
，可得
；
类似可得
，由
，则
，所以
.这说明
随着的增大而减小.根据复合函数的单调性知随a增大而减小.
试题解析：（1） ∵，所以定义域为且
， 1分
因为
,
（1）当
，又，即时，对恒成立，
∴的单调递增区间为； 2分
（2）当
，又，即时，
由得：，或， 3分
所以的单调递增区间为，； 4分
（2）当时，由，得.
当
变化时，
，的变化情况如下表：
这时，的单调递增区间是，单调递减区间是. 5分
当x大于0且无限趋近于0时，的值无限趋近于
；
当x无限趋近于0时
，的值无限趋近于， 6分
所以有两个零点，须满足>0，即，
所以的取值范围是. 7分
因为是函数的两个零点，即，.
故. 8分
设，则，且解得，.
所以. 9分
令，，则
.
令
，得
.
当时，
.因此，
在上单调递增，
故对于任意的，
，由此可得
，
故在上单调递增.
因此，由①可得随着的增大而增大. 10分
因为是函数的两个零点，即，，
则，，
因为
且
，则，. 11分
设，则，
所以在上单调递增，在上单调递减. 12分
对于任意的，设，
必有，其中；，其中.
因为在上单调递增，故由，即，可得；
类似可得， 13分
由，则，所以.
所以，
随着的增大而减小.
即随a增大而减小. 14分
考点：导数与不等式.
