- 试题详情及答案解析
- （本小题满分12分）已知函数
.
（1）判断函数
的奇偶性，并证明；
（2）若对于任意
，不等式
恒成立，求正实数
的取值范围.- 答案：（1）f （x）在定义域上是奇函数；（2） m的取值范围是
． - 试题分析：（1）判断奇偶性，首先求定义域，看定义域是否关于原点对称.然后再看是满足
还是
.若满足，则是奇函数；若满足，则为偶函数.（2）对不等式，应根据函数
的单调性转化为普通不等式.所以首先利用导数判断的单调性.由于
，当
或
时，
恒成立，所以
在
上是减函数，因为x∈[2,4]且m>0，所以
，由
得
，即m<（x＋1）（x－1）（7－x）在
恒成立．设g（x）＝（x＋1）（x－1）（7－x），，这样
即可.
试题解析：（1）由
，得
且
，
∴函数的定义域为
， 1分
当
时，
， 2分
， 3分
所以， 4分
∴f （x）在定义域上是奇函数； 5分
（2）由于，
当
或
时，恒成立，
所以在上是减函数， 6分
因为x∈[2,4]且m>0，所以， 7分
由及在
上是减函数，
所以， 8分
因为x∈[2,4]，所以m<（x＋1）（x－1）（7－x）在恒成立． 9分
设g（x）＝（x＋1）（x－1）（7－x），，则g（x）＝－x3＋7x2＋x－7， 10分
所以g′（x）＝－3x2＋14x＋1＝－3
2＋
，
所以当时，g′（x）>0 ．
所以y＝g（x）在
上是增函数，g（x）min＝g（2）＝15 ． 11分
综上知符合条件的m的取值范围是． 12分
考点：1、函数的奇偶性；2、导数的应用.