- 试题详情及答案解析
- 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在边AB上，连接CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，连接AE．
（1）求证：AB⊥AE；
（2）若BC2=AD•AB，求证：四边形ADCE为正方形- 答案：证明：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠B=∠BAC=45°，
∵线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，
∴∠DCE=90°，CD=CE，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB﹣∠ACD=∠DCE﹣∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中
，
∴△BCD≌△ACE，
∴∠B=∠CAE=45°，
∴∠BAE=45°+45°=90°，
∴AB⊥AE；
（2）∵
，
而BC=AC，
∴
，
∵∠DAC=∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴∠CDA=∠BCA=90°，
而∠DAE=90°，∠DCE=90°，
∴四边形ADCE为矩形，
∵CD=CE，
∴四边形ADCE为正方形 - 试题分析：（1）根据旋转的性质得到∠DCE=90°，CD=CE，利用等角的余角相等得∠BCD=∠ACE，然后根据“SAS”可判断△BCD≌△ACE，则∠B=∠CAE=45°，所以∠DAE=90°，即可得到结论；
（2）由于BC=AC，则，根据相似三角形的判定方法得到△DAC∽△CAB，则∠CDA=∠BCA=90°，可判断四边形ADCE为矩形，利用CD=CE可判断四边形ADCE为正方形
考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的判定；相似三角形的判定与性质
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等、相似的判定与性质以及正方形的判定