- 试题详情及答案解析
- 已知：⊙O是△ABC的外接圆，点M为⊙O上一点.
（1）如图，若△ABC为等边三角形，BM=1，CM=2，求AM的长；
小明在解决这个问题时采用的方法是：延长MC到E，使ME=AM，从而可证△AME为等边三角形，并且△ABM≌△ACE，进而就可求出线段AM的长．
请你借鉴小明的方法写出AM的长，并写出推理过程．
（2）若△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=
，
，
（其中
），直接写出AM的长(用含有a，b的代数式表示).- 答案：（1）解：延长MB至点E，使BE=MC，连接AE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∵四边形ABMC是⊙O的内接四边形，
∴∠ABE=∠ACM，
在△AEB和△AMC中
，∴△AEB≌△AMC，
∴∠AEB=∠AMC，
∵∠AMC=∠ABC（在同圆中，同弧所对的圆周角相等），
∴∠AEB=∠ABC，
∵∠AME=∠ACB（在同圆中，同弧所对的圆周角相等），
又∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠AEB=∠AME=60°，
∴△AEM是等边三角形，
∴AM=ME=MB+BE，
∵BE=MC，
∴MB+MC=MA=1+2=3．
即AM的长是3．
（2）解：分为两种情况：①如图，AM=
=
(a+b)
由是：延长MB至点E，使BE=MC，连AE，
由（1）知：∠ABE=∠ACM，
在△ABE和△ACM中
∴△ABE≌△ACM，
∴AM=AE，∠E=∠AMC，
∵∠AMC=∠ABC=45°，∠AMB=∠ACB=45°，
∴∠E=∠AMB=45°，
∴∠EAM=90°，
在△EAM中，ME=MB+BE=MB+CM=a+b，AE=AM，
由勾股定理得：AM=
=(a+b)
即AM=(a+b)
②如图，
在CM上截取CN=BM，连接AN，
∵∠ABM所对的弧和∠ACN所对的弧都是弧AM，
∴∠ABM=∠ACN，
在△ABM和△ACN中
∴△ABM≌△ACN（SAS），
∴AM=AN，∠BAM=∠CAN，
∵∠BAC=∠BAN+∠CAN=90°，
∴∠BAN+∠BAM=90°，
∴∠MAN=90°，
则△MAN是等腰直角三角形，
∵MN=CM-CN=CM-BM=b-a，
由勾股定理得：AM=AN=
=(b-a)
即AM=(b-a)．
即AM的长是(a+b)或
(b-a)． - 试题分析：（1）延长MB至点E，使BE=MC，连AE，根据等边三角形性质求出AC=AB，根据圆内接
四边形的性质推出∠ABE=∠ACM，证△ABE≌△ACM，推出AM=AE，证等边三角形AEM，推出AE=AM=ME，
即可推出答案；
（2）分为两种情况，画出图形，延长MB至点E，使BE=MC，连AE，根据等腰直角三角形性质推
出AB=AC，根据SAS证△ABE≌△ACM，推出AM=AE，∠E=∠AMC=45°，∠AMB=45°，求出△EAM是
等腰直角三角形，根据勾股定理求出即可．
考点：圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，勾股定理，等腰直角三角形，
圆内接四边形的性质，三角形的外接圆与内心。
点评：本题考查了等腰直角三角形，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等边三角形性质，圆周角定理，圆内接四边形性质等知识点的运用，关键是正确作辅助线推出AM=BM+CM，两小题证明过程类似，都是通过作辅助线把AM、BM、CM放在一个三角形中，求出三者之间的关系，题目比较好，有一点难度．