- 试题详情及答案解析
- （本小题满分14分）已知函数
（
是常数）．
（1）设
，
、
是函数
的极值点，试证明曲线关于点
对称；
（2）是否存在常数
，使得
，
恒成立？若存在，求常数的值或取值范围；若不存在，请说明理由．
（注：，对于曲线上任意一点
，若点关于
的对称点为
，则在曲线上．）- 答案：
- 试题分析：（1）首先由题意求得
，由中点坐标公式得到曲线
上任意一点
关于对称的点为
，经过计算
，点在曲线上，所以，曲线关于点对称
（2）由题即
，
，
时，不等式恒成立；
时，不等式等价于
，构造函数
，
求导讨论，在
的单调性，进而求出在上这两个函数的最值，即为的取值范围。
试题解析：（1）
，
解
得
，
，即
曲线上任意一点关于对称的点为
直接计算知，
，点在曲线上，所以，曲线关于点对称
（2）即，时，不等式恒成立；时，不等式等价于
作
，
，
，
，解
、
得
、
－ ＋ 0 － 
↘ ↗ 极大值 ↘ 
＋ － － － 
↗ ↘ ↘ 
，
，
在的最大值为
；
，
，
在的最小值为
综上所述，的取值范围为
考点：曲线关于点对称问题，利用导数研究函数的性质；