- 试题详情及答案解析
- 某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲线
是以点
为圆心的圆的一部分，其中
（
，单位：米）；曲线
是抛物线
的一部分；
，且
恰好等于圆的半径. 假定拟建体育馆的高
米.
（1）若要求
米，
米，求
与
的值；
（2）若要求体育馆侧面的最大宽度
不超过
米，求的取值范围；
（3）若
，求
的最大值.
（参考公式：若
，则
）- 答案：（1）
，（2）
，（3）25
. - 试题分析：（1）曲线为圆与抛物线的结合体，由恰好等于圆的半径得
，
，从而可得圆的方程
，令
，得
，再根据得点
进而解出.（2）为圆半径与OD之和，圆的半径为
，关键求OD：因为
，所以在
中令
，得
，问题就转化为
对
恒成立，利用变量分离法可得
恒成立，因为
最小值10，所以
，解得. （3）当时，
，由圆的方程可得
，从而
，这要利用导数求其最值.
试题解析：（1）因为，解得. 2分
此时圆，令，得，
所以
，将点代入中，
解得. 4分
（2）因为圆的半径为，所以，在中令，得，
则由题意知对恒成立， 8分
所以恒成立，而当
，即
时，取最小值10，
故，解得. 10分
（3）当时，，又圆的方程为
，令，得
，所以，
从而
， 12分
又因为
，令
，得
， 14分
当
时，
，
单调递增；当
时，
，单调递减，从而当时，取最大值为25.
答：当米时，的最大值为25米. 16分
考点：函数解析式，不等式恒成立，利用导数求最值