- 试题详情及答案解析
- 设数列
是各项均为正数的等比数列，其前
项和为
，若
，
.
（1）求数列的通项公式；
（2）对于正整数
（
），求证：“
且
”是“
这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；
（3）设数列
满足：对任意的正整数，都有
，且集合
中有且仅有3个元素，试求
的取值范围.- 答案：（1）
，（2）详见解析，（3）
- 试题分析：（1）求等比数列通项公式，一般利用待定系数法求解：由得
，由得
，即
，
，（2）充要条件证明需从两方面证明：必要性：设这三项经适当排序后能构成等差数列，这需分三种情况讨论并利用整数奇偶性进行说明；其中由
可得
. 充分性：设，，只需验证即
，调整顺序后易知
成等差数列，（3）利用和项与通项关系先求出数列通项公式
，从而
，问题转化为求研究
单调性，进而确定其值域变化趋势：
，而
时，
，此时
单调递减，所以由
，
，
，
，可得.
试题解析：（1）
数列是各项均为正数的等比数列，
，
，
又，
，
，； 4分
（2）（ⅰ）必要性：设这三项经适当排序后能构成等差数列，
①若
，则
，
，
，
. 6分
②若
，则
，
，左边为偶数，等式不成立，
③若
，同理也不成立，
综合①②③，得
，所以必要性成立. 8分
（ⅱ）充分性：设，，
则这三项为
，即，调整顺序后易知成等差数列，
所以充分性也成立.
综合（ⅰ）（ⅱ），原命题成立. 10分
（3）因为
，
即
，（*）
当
时，
，（**）
则（**）式两边同乘以2，得
，（***）
（*）－（***），得
，即
，
又当
时，
，即
，适合，
. 14分
，
，
时，
，即；
时，，此时单调递减，
又，，，，
. 16分
考点：等比数列通项公式，等差数列，由和项求通项