- 试题详情及答案解析
- （本小题12分）已知椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率等于
，
它的一个顶点B恰好是抛物线
的焦点。
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线
与椭圆C交于
两点，那么椭圆C的右焦点
是否可以成为
的垂心？若可以，求出直线的方程；若不可以，请说明理由.（注: 垂心是三角形三条高线的交点）- 答案：（1）
；（2）可以，
. - 试题分析：（1）抛物线x2=4y的焦点为（0，1），可得c=1．再利用
，即可得出．
（2）利用三角形垂心的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系可得直线的斜率为1．设直线的方程为y=x+m，代入椭圆方程并整理，可得3x2+4bx+2（b2﹣1）=0．设
，利用根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系即可得出．
试题解析：（1）设椭圆方程为
，
抛物线x2=4y的焦点为（0，1），
由
，
∴椭圆方程为．
（2）假设存在直线，使得点F是△BMN的垂心．
易知直线BF的斜率为﹣1，从而直线的斜率为1．
设直线的方程为y=x+m，代入椭圆方程并整理，可得3x2+4bx+2（b2﹣1）=0．
设，
则
，
．
于是
，
解之得m=1或m=﹣
．
当m=1时，点B即为直线与椭圆的交点，不合题意；
当m=﹣时，经检验符合题意．
∴当且仅当直线的方程为时，点F是△BMN的垂心．
考点：椭圆与抛物线的标准方程及其性质；三角形垂心的性质；相互垂直的直线斜率之间的关系；直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系；向量垂直与数量积的关系；推理能力与计算能力.