- 试题详情及答案解析
- 如图，在直三棱柱
中，已知
，
，
，点
，
分别在棱
，
上，且
，
，
． 
（1）当
时，求异面直线
与
所成角的大小；
（2）当直线
与平面
所成角的正弦值为
时，求
的值．- 答案：（1）
．（2）
- 试题分析：（1）利用空间向量求异面直线所成角：先建立空间直角坐标系，设立点的坐标，将异面直线用坐标表示，再利用向量数量积求角：
，
．
所以异面直线与所成角为．（2）已知线面角求点的位置，解题思路仍是利用空间向量，先求出平面法向量,再利用直线与法向量的夹角与线面角互为余角，进行列等量关系：设平面的法向量为
，则
，且
．即
，且
．令
，则
．
所以
是平面的一个法向量．
，因为直线与平面所成角的正弦值为，所以
，解得．
试题解析：建立如图所示的空间直角坐标系
．
（1）因为AB=AC=1，
3，，
所以各点的坐标为
,
，
，
．，． 2分
因为
,
，
所以
．所以向量
和
所成的角为
，
所以异面直线与所成角为． 4分
（2）因为
，，所以
．
设平面的法向量为，
则，且．
即，且．令，则．
所以是平面的一个法向量． 6分
又
，则
，
又因为直线与平面所成角的正弦值为，
所以，解得，． 10分
考点：利用空间向量求线线角、线面角