- 试题详情及答案解析
- 设A为椭圆
（
）上一点，点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF. 若∠ABF∈[
，
]，则该椭圆离心率的取值范围为 .- 答案：
- 试题分析：设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，根据B和A关于原点对称可知|BF|=|AF′|，推知|AF|+|BF|=2a，又根据O是Rt△ABF的斜边中点可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用α和c分别表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出
即离心率e，进而根据α的范围确定e的范围．
解：∵B和A关于原点对称
∴B也在椭圆上
设左焦点为F′
根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a
又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a …①
O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c
又|AF|=2csinα …②
|BF|=2ccosα …③
②③代入①2csinα+2ccosα=2a
∴
即
∵
，
∴
∴
∴
故答案为
考点：椭圆的定义和性质.