- 试题详情及答案解析
- 已知函数
（其中
是自然对数的底数），
，
．
（1）记函数
，且
，求
的单调增区间；
（2）若对任意
，
，均有
成立，求实数
的取值范围．- 答案：（1）
和
（2）
- 试题分析：（1）利用导函数大于零求单调增区间：因为
，所以
，令
，因为，得
或
，所以
的单调增区间为和（2）双变量不等式恒成立问题，先对不等式进行等价变形，转化为对应函数增减性问题：不妨设
，根据在上单调递增，所以有
对恒成立，即
对，恒成立，即
对，恒成立，所以
和
在都是单调递增函数，然后分别求对应函数增减性条件：
在上恒成立，
在恒成立，得
在恒成立，
；
在上恒成立，得
在上恒成立，即
在上恒成立，
，所以实数的取值范围为．
试题解析：（1）因为
，
所以， 2分
令，因为，得或， 5分
所以的单调增区间为和； 6分
（2）因为对任意
且，均有
成立，
不妨设，根据在上单调递增，
所以有对恒成立， 8分
所以
对，恒成立，
即对，恒成立，
所以和在都是单调递增函数， 11分
当在上恒成立，
得在恒成立，得在恒成立，
因为
在上单调减函数，所以在上取得最大值
，
解得． 13分
当在上恒成立，
得在上恒成立，即在上恒成立，
因为
在
上递减，在
上单调递增，
所以在上取得最小值
，
所以， 15分
所以实数的取值范围为． 16分
考点：不等式恒成立问题