- 试题详情及答案解析
- 如图，在平面直角坐标系
中，已知椭圆
:
,设
是椭圆上的任一点，从原点
向圆
：
作两条切线，分别交椭圆于点
，
.
（1）若直线
，
互相垂直，求圆的方程；
（2）若直线，的斜率存在，并记为
，
，求证：
；
（3）试问
是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．- 答案：（1）
（2）详见解析（3）定值为36 - 试题分析：（1）因为直线，互相垂直，且和圆相切，这是一个较特殊的情况，此时
，即
，又点在椭圆上，所以
，解得
所以所求圆的方程为．（2）是一般情况，则从直线与圆相切关系出发，即利用圆心到切线距离等于半径建立等量关系：因为直线： 
与圆
相切，所以
,化简得
，同理：
满足
，所以
是方程
的两个不相等的实数根，
，因为点在椭圆C上，所以
，即
，所以
，即．（3）探求定值问题，可从斜率或点坐标关系出发，利用斜率表示出点P,Q的坐标，进行化简即得. 当直线
不落在坐标轴上时,设
,由
得
，所以
，同理，得
，由
，所以
，当直线落在坐标轴上时,显然有
.
试题解析：（1）由圆的方程知，圆的半径的半径
，
因为直线，互相垂直，且和圆相切，
所以，即，① 1分
又点在椭圆上，所以，② 2分
联立①②，解得 3分
所以所求圆的方程为． 4分
（2）因为直线：，：，与圆相切，
所以,化简得 6分
同理， 7分
所以是方程的两个不相等的实数根，
8分
因为点在椭圆C上，所以，即，
所以，即． 10分
（3）是定值，定值为36， 11分
理由如下：
法一：(i)当直线不落在坐标轴上时,设,
联立解得 12分
所以，同理，得， 13分
由，
所以
15分
(ii)当直线落在坐标轴上时,显然有，
综上：． 16分
法二：(i)当直线不落在坐标轴上时,设,
因为，所以
,即
， 12分
因为在椭圆C上，所以
，
即
， 13分
所以
，整理得
，
所以
，
所以． 15分
(ii)当直线落在坐标轴上时,显然有，
综上：． 16分
考点：直线与椭圆位置关系