- 试题详情及答案解析
- （本题满分16分）已知函数
.
（1）若
，且不等式
在
上恒成立，求证:
；
（2）若
，且不等式
在
上恒成立，求实数
的取值范围；
（3）设
，求不等式
在
上恒成立的充要条件.- 答案：（1）证明详见解析；（2）
；（3）
.- 试题分析：（1）只要找到不等式
在上恒成立的条件，就能达到证明的目的，对于开口向上的抛物线，函数值非负的条件是
；（2）恒成立求参数范围，经常采用参数分离法，然后将问题转化为求函数最值，至于最值的求法可用不等式或导数求得；（3）
且
，所以问题就转化为研究
在上的最值，从而求出的范围.
试题解析：（1）不等式在上恒成立，即
，即
在上恒成立，因为
，必有
成立，即
，又，所以有成立.
（2）当时，不等式在上恒成立，即
，即
在上恒成立，当
时，不等式显然成立，当
时，可转化为
在
上恒成立，设
（），则有
，所以
在
上为减函数，
，所以在上恒成立，只需
，即.
（3）当时，不等式在上恒成立，即
在上恒成立，因为，函数的图象开口向下，对称轴为
，
，结合二次函数的图象，可将问题可等价转化为：
或
或
，解得
或
或
，综上即
，
.
考点：与二次函数相关的不同形态的恒成立问题，以及数形结合思想、分类讨论思想.