- 试题详情及答案解析
- 本小题满分10分)已知椭圆方程为
，设过定点M(0,2)的直线
与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角(其中O为原点)，求直线斜率
的取值范围．- 答案：
- 试题分析：解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式
：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.
试题解析：可设l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．将y＝kx＋2代入椭圆方程，
得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0.由Δ＝(16k)2－4·(1＋4k2)·12>0，得
. ①
又y1·y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4，
∵∠AOB为锐角，所以
·
>0，即x1x2＋y1y2>0.即(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝
.所以
. ②
由①②可知
，故k的取值范围是．
考点：直线与椭圆的综合问题.