- 试题详情及答案解析
- （本小题满分14分）已知圆C的圆心在坐标原点，且与直线
相切.
（1）求直线
被圆C所截得的弦AB的长；
（2）过点G（1,3）作两条与圆C相切的直线，切点分别为M,N，求直线MN的方程；
（3）若与直线
垂直的直线
不过点R（1,-1），且与圆C交于不同的两点P，Q.若∠PRQ为钝角，求直线的纵截距的取值范围．- 答案：（1）
；（2）
；（3）
- 试题分析：（1）已知得圆的半径为圆心到直线的距离，求得半径r=2，所以圆
的标准方程为：
；通过半弦长与半径、弦心距的关系求得弦AB长为；（2）由题意知点M、N在以
点为圆心，线段
长为半径的圆G上，而
，所以
，圆G的方程为
，与圆C的方程相减得公共弦MN的方程；（3）由已知可设直线的方程为：
，联立圆的方程化简得
，
得
，由根与系数的关系得
，又
为钝角，所以
,变形化简得
，而当b=0时直线过点R（1，-1），所以纵截距b的取值范围是.
试题解析：（1）由题意得：圆心
到直线
的距离为圆的半径，
，所以圆的标准方程为：
所以圆心到直线
的距离
（2）因为点
,所以
,
所以以点为圆心，线段长为半径的圆方程： （1）
又圆方程为： （2），由
得直线
方程：
（3）设直线的方程为：
联立得：，
设直线与圆的交点
，
由
，得，
（3）
因为为钝角，所以,
即满足
，且
与
不是反向共线，
又
，
所以
（4）
由（3）（4）得，满足
，即
，
当与反向共线时，直线过（1，-1），此时
，不满足题意，
故直线纵截距的取值范围是，且
考点：直线与圆的位置关系与向量的数量积运算的应用