- 试题详情及答案解析
- （本题满分16分）已知函数
（
）.
（1）当
时，求
的最小值；
（2）若函数图象上的点都在不等式组
表示的平面区域内，求实数
的取值范围；
（3）若函数
在
上有零点，求
的最小值.- 答案：（1）
；（2）
；（3）的最小值为
.- 试题分析：（1）由函数的单调性，易得函数的最小值；（2）可将问题转化为恒成立问题，进而通过换元，进一步转化为一次函数问题，通过数形结合达到解决问题的目的；（3）将函数与方程之间进行等价转化，将问题朝易于解决的方向转化，最终求出
上有零点的条件，而的几何意义就是表示点
到原点
距离的平方，这样就可以在约束条件下，求的最小值.
试题解析：（1）当时，
，显然在定义域
内为增函数，
.
（2）由题意可知，
在上恒成立，令
，则
，代入得
在
上恒成立，即
，即
对恒成立，即
在上恒成立，此时只需
且
，所以有.
（3）依题意：
在上有解，
即
，令
，则
，代入得方程
在
上有解，
设
（），
当
，即
时，只需
，的几何意义就是表示点到原点距离的平方，在此条件下，有
；
当
，即
时，只需
，即
，即
，的几何意义就是表示点到原点距离的平方，在此条件下，有
. 所以的最小值为.
考点：函数与方程的综合应用.