- 试题详情及答案解析
- 如图，在平面直角坐标系中，直线
与x轴交于点A，与y轴交于点C.抛物线
经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．
（1）求抛物线的解析式及点B坐标；
（2）若点M是线段BC上的一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E.求ME长的最大值；
（3）试探究当ME取最大值时，在抛物线上、x轴下方是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．- 答案：见解析
- 试题分析：（1）由求出点A,C的坐标，然后带入，解方程组即可；（2）求出直线BC的解析式是y＝x－3，根据点M在直线BC 上，设M（x，x－3），则E（x，x2－2x－3）
，表示出线段ME的长，用配方法可求出最大值；（3）设在抛物线x轴下方存在点P，使以P，M，F，B为顶点的四边形是平行四边形，求出点P的坐标，然后判断点P是不是在抛物线上即可.
试题解析：解：（1）当y＝0时，－3x－3＝0，x＝－1，∴A（－1, 0）．
当x＝0时，y＝－3，∴C（0，－3）．
∵抛物线过A，C两点，
抛物线的解析式是y＝x2－2x－3.
当y＝0时， x2－2x－3＝0，解得 x1＝－1，x2＝3.
∴ B（3, 0）．
（2）由（1）知 B（3, 0） , C（0，－3），
直线BC的解析式是y＝x－3.
设M（x，x－3）（0≤x≤3），则E（x，x2－2x－3）
∴ME＝（x－3）－（ x2－2x－3）＝－x2＋3x＝－
2＋
.
∴当x＝
时，ME的最大值为.
（3）不存在．由（2）知 ME取最大值时，
ME＝，
∴MF＝，BF＝OB－OF＝.
设在抛物线x轴下方存在点P，使以P，M，F，B为顶点的四边形是平行四边形，
则BP∥MF，BF∥PM.∴P1
或 P2
.
当P1时，由（1）知y＝x2－2x－3＝－3≠－，∴P1不在抛物线上．
当P2时，由（1）知y＝x2－2x－3＝0≠－，
∴P2不在抛物线上．
综上所述：在抛物线上x轴下方不存在点P，使以P，M，F，B为顶点的四边形是平行四边形
考点：1.一次函数；2.二次函数；3.平行四边形；4.配方法.