- 试题详情及答案解析
- 本小题12分)设函数
.
（1）求
的单调区间；
（2）若
="1" ,
为整数,且当
0时,
，求的最大值.- 答案：（1）若
，则
，此时函数在R上单调递增；
若
，则当
时，
；当
时，.所以函数在
上单调递减；在
上单调递增.
（2）整数的最大值为2. - 试题分析：（1）首先根据函数的表达式可判断其定义域，然后对其进行求导可得
，由于导函数中含有参数，将其分为两种情况：①，此时易判断出函数在R上单调递增；②，可求出其极值点，然后判断函数在极值点的左右两侧的单调性即可；
（2）首先将问题“当0时,”转化为“
恒成立，其中
”，即
，记
，求其导函数
，由（1）知，函数
在
上单调递增，且在上存在唯一的零点，即
在上存在唯一的零点.从而得出函数
的最小值并求出其取值范围，进而得出整数的最大值.
试题解析：（1）函数的定义域为R，所以.
若，则，此时函数在R上单调递增；
若，则当时，；当时，.所以函数在上单调递减；在上单调递增.
（2）因为
，所以
，所以当时，等价于，其中.
令，则
.
由（1）知，函数在上单调递增，而
，
，所以
在上存在唯一的零点，故在上存在唯一的零点.设此零点为
，则
.
当
时，
；当
时，
；所以在上的最小值为
.又由
可得，
，所以
，所以
，故整数的最大值为2.
考点：1、利用导数判断函数的单调性；2、导数在研究函数的最值中的应用.