- 试题详情及答案解析
- （2012•西城区二模）对数列{an}，如果∃k∈N*及λ1，λ2，…，λk∈R，使an+k=λ1an+k﹣1+λ2an+k﹣2+…+λkan成立，其中n∈N*，则称{an}为k阶递归数列．给出下列三个结论：
①若{an}是等比数列，则{an}为1阶递归数列；
②若{an}是等差数列，则{an}为2阶递归数列；
③若数列{an}的通项公式为
，则{an}为3阶递归数列．
其中，正确结论的个数是（ ）- 答案：D
- 试题分析：利用等差数列、等比数列和数列{an}的通项公式为的性质，根据k阶递归数列的定义，逐个进行判断，能够求出结果．
解：①∵{an}是等比数列，
∴an=
，an+1=qan，
∴∃k=1，λ=q，使an+k=qan+k﹣1成立，
∴{an}为1阶递归数列，故①成立；
②∵{an}是等差数列，
∴an=a1+（n﹣1）d，
∴∃k=2，λ1=2，λ2=﹣1，使an+2=λ1an+k﹣1+λ2an+k﹣2成立，
∴{an}为2阶递归数列，故②成立；
③∵若数列{an}的通项公式为，
∴∃k=3，λ1=3，λ2=﹣3，λ3=1，使an+3=λ1an+k﹣1+λ2an+k﹣2+λ3an+k﹣3成立，
∴{an}为3阶递归数列，故③成立．
故选D．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意正确理解k阶递归数列的定义．