- 试题详情及答案解析
- （本题满分12分）已知椭圆
=1（a＞b＞0）的离心率e=
，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与坐标原点距离为
.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点E（-1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆相交于C、D两点，试判断是否存在k值，使以CD为直径的圆过定点E？若存在求出这个k值，若不存在说明理由.- 答案：（1）
（2）存在
。 - 试题分析：（1）先由两点式求出直线方程，再根据离心率
和点到直线距离公式列出方程解出
，即可求得；（2）假设存在这样的直线，联立直线方程和椭圆方程，消去y，得到x的一元二次方程，求出两根之和和两根之积，要使以CD为直径的圆过点E，当且仅当CE⊥DE时，则
，再利用y=kx+2，将上式转化，最后求得，并验证。
试题解析：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0
依题意
解得 
∴ 椭圆方程为
（2）假设存在这样的k值，由
得
∴ 
①
设
，
，
，则
②
而
8分
要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则，即
∴ 
③
将②式代入③整理解得 经验证，，使①成立
综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E 。
考点：1、椭圆的相关知识；2、直线与椭圆的相交问题。