- 试题详情及答案解析
- （满分13分）如图所示，正四棱锥P－ABCD中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为
．
（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；
（2）若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；
（3）问在棱AD上是否存在一点F，使EF⊥侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由．- 答案：（1）
; （2）
; （3）F是AD的4等分点，靠近A点的位置. - 试题分析：（1）取AD中点M，连接MO，PM，由正四棱锥的性质知∠PMO为所求二面角P－AD－O的平面角，∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角∴tan∠PAO＝
，设AB＝a，则AO＝
a，PO＝
a，MO=
, tan∠PMO＝
,∠PMO＝60°; （2）依题意连结AE，OE，则OE∥PD ，故∠OEA为异面直线PD与AE所成的角，由正四棱锥的性质易证OA⊥平面POB,故
为直角三角形，OE＝
PD＝
＝
a ∴tan∠AEO＝
＝；（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG，EG，MG，易得BC⊥平面PMN，故平面PMN⊥平面PBC，而△PMN为正三角形，易证MG⊥平面PBC，取MA的中点F,连EF,则四边形MFEG为平行四边形，从而MG//FE,EF⊥平面PBC, F是AD的4等分点，靠近A点的位置.
试题解析：（1）取AD中点M，连接MO，PM，依条件可知AD⊥MO，AD⊥PO，则∠PMO为所求二面角P－AD－O的平面角 （2分）
∵PO⊥面ABCD，
∴∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角．
∴tan∠PAO＝
设AB＝a，AO＝a，
∴ PO＝AO·tan∠POA＝a，
tan∠PMO＝
＝．
∴∠PMO＝60°． （4分）
（2）连接AE，OE， ∵OE∥PD，
∴∠OEA为异面直线PD与AE所成的角． （6分）
∵AO⊥BD，AO⊥PO，∴AO⊥平面PBD．
又OE
平面PBD， ∴ AO⊥OE．
∵OE＝PD＝＝a，
∴tan∠AEO＝＝． （8分）
（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG，EG，MG．
∵BC⊥MN，BC⊥PN，∴BC⊥平面PMN
∴平面PMN⊥平面PBC． （10分）
又PM＝PN，∠PMN＝60°，∴△PMN为正三角形．
∴MG⊥PN．又平面PMN ∩平面PBC＝PN，∴MG⊥平面PBC． （12分）
F是AD的4等分点，靠近A点的位置 （13分）
考点：立体几何的综合问题