- 试题详情及答案解析
- （本小题满分13分）三棱锥P－DEF中, 顶点P在平面DEF上的射影为O.
（Ⅰ）如果PE＝PF＝PD, 证明O是三角形DEF的外心（外接圆的圆心）
（Ⅱ）如果
, 
, 
, 
,证明: O是三角形DEF的垂心（三条高的交点）- 答案：（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ））详见解析.
- 试题分析：（Ⅰ）欲证点
为
的外心，即证点到三个顶点的距离相等，据题意易证
是三个全等的三角形，所以
，即点为外心；（Ⅱ）欲证点为垂心，只需证
，根据已知结合勾股定理易证
均为,直角三角形，加之
，运用相关线面垂直和线线垂直的相关判定和定理，不难得出结论.
试题解析：（Ⅰ）如图（一）所示，过点P作
，分别连结
，则
由线面垂直的定义可得
，
，
根据HL公理得
,所以点为的 外心.
（Ⅱ）如图（二）所示，过点P作，分别联结
，并分别延长使交
于点
，则根据已知
，
有
,即：
为
（勾股定理逆定理），
同理可证：
均为，
,
,
，
又
,由
,
,
同理可证：
，
分别是三边上的高，即：点为的垂心.
考点：线面垂直和线线垂直的相关判定和定理
考点：①三角形外心和垂心的定义；②线面垂直的定义、性质和判定；③勾股定理和三角形全等判定.