- 试题详情及答案解析
- （本小题满分14分）已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形, AC∩BD="O," AA1=2
, BD⊥A1A, ∠BAD=∠A1AC="60°," 点M是棱AA1的中点.
（Ⅰ）求证：A1C∥平面BMD;
（Ⅱ）求证：A1O⊥平面ABCD;
（Ⅲ）求三棱锥
的体积.- 答案：（Ⅰ）详见解析； （Ⅱ）详见解析； （Ⅲ）
. - 试题分析：（Ⅰ）欲证线面平行，通常从线线平行入手，M是中点，加之
是菱形，O也为AC中点，所以MO为
的中位线，问题得于解决；（Ⅱ）根据已知边角关系易证
为直角三角形，即
，又根据菱形性质
，给合已知
，可得
，即
，所以自然可得
；（Ⅲ）本题要解决三棱锥的体积，核心是解决高的问题，据题意，过M点作
的平行线使交AC于N，则MN即为三棱锥的高，又M是
的中点，所以
，结合已知可得所求.
试题解析：（Ⅰ）如图，联结
，则由是棱形知
为
中点，又
是的中点，
为的中位线，故
，
而
，所以
；
（Ⅱ）
是菱形，其对角线
互相垂直平分且平分对角，
又
， 
，
在
中，
（
角所对直角边等于斜边的一半），则
，
中，
，
,则
由余弦定理得
，故由勾股定理知
，即
，
又由
，，
由
；
（Ⅲ）如图，过点作
交于
，则
为三棱锥
的高且
，
又
，
.
考点：①线面平行的判定；②线面垂直的判定；③勾股定理和余弦定理；④等积法.