- 试题详情及答案解析
- （本小题共14分）如图，四边形
与
均为菱形， 
，且
．
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求证：
∥平面
；
（Ⅲ）求二面角
的余弦值．- 答案：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）
- 试题分析：（Ⅰ）证明：设AC与BD相交于点O，连结FO．
因为 四边形ABCD为菱形，所以
，
且O为AC中点． 1分
又FA=FC，所以 
． 3分
因为 
，
所以 平面BDEF． 4分
（Ⅱ）证明：因为四边形ABCD与BDEF均为菱形，
所以AD//BC，DE//BF，
所以 平面FBC//平面EAD． 7分
又
平面FBC，
所以FC// 平面EAD． 8分
（Ⅲ）解：因为四边形BDEF为菱形，且
，所以△DBF为等边三角形．
因为O为BD中点，所以
，故
平面ABCD．
由OA,OB,OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz． 9分
设AB=2．因为四边形ABCD为菱形，
，则BD=2，所以OB=1，
．
所以 
．
所以 
，
．
设平面BFC的法向量为
，则有
所以 
取x=1，得
． 12分
易知平面AFC的法向量为
． 13分
由二面角A-FC-B是锐角，得 
．
所以二面角A-FC-B的余弦值为． 14分
考点：本题考查线面平行的判定，线面垂直的判定，求二面角
点评：本题考查线线，线面平行关系的转化及平面图形的应用，还考查了向量法在求二面角中的应用，关键求出平面的法向量