- 试题详情及答案解析
- （本小题满分14分）
已知向量
，其中
，
，把其中
所满足的关系式记为
，且函数
为奇函数．
（1）求函数
的表达式；
（2）已知数列
的各项都是正数，
为数列的前
项和，且对于任意
，都有“数列
的前项和”等于
，求数列的首项
和通项公式
；
（3）若数列
满足
，求数列的最小值．- 答案：（Ⅰ）
；（Ⅱ）
；（Ⅲ）详见解析． - 试题分析：（Ⅰ）根据向量平行得出函数
，再利用函数
为奇函数，可求c=1，从而可得函数的表达式；
（Ⅱ）根据条件对于任意
，都有
的前n项和等于
，写出两等式，两式相减可得
为公差为1的等差数列，从而可求数列的通项公式；
（Ⅲ）根据，可得
，由于
，故需对
进行分类讨论．
试题解析：（Ⅰ）∵
，∴
，
因为函数f（x）为奇函数．所以c=1，故
（Ⅱ）由题意可知，
…．．①
n≥2时，
…②
由①﹣②可得：
，
∵为正数数列，∴
…③，∴
…④
由④﹣③可得：
，
且由①可得
∴为公差为1的等差数列，∴；
（Ⅲ）
，
令
，∴
（1）当
时，数列
的最小值为当n=1时，
．
（2）当a＞2时
①若
时，数列的最小值为当n=k+1时，
．
②若
时，数列的最小值为当n=k或n=k+1时，
．
③若 
时，数列的最小值为当n=k时，
④若
时，数列{bn}的最小值为，当n=k+1时，
．
考点：向量共线定理；数列通项公式；函数的最值问题；数列与向量的综合；分类讨论思想．