- 试题详情及答案解析
- 若数列的各项均为正数,,为常数,且.
(1)求的值;
(2)证明:数列为等差数列;
(3)若,对任意给定的k∈N*,是否存在p,r∈N*(k<p<r)使,,成等差数列?若存在,用k分别表示一组p和r;若不存在,请说明理由.- 答案:(1)2(2)详见解析(3)当k=1时,不存在p,r;当k≥2时,存在一组p=2k-1,r=k(2k-1)满足题意.
- 试题分析:(1)令,得①,令,得②,①—②,得 , ,(2)证明数列为等差数列,一般利用定义进行证明,由(1)推导过程知:, ,两式相减得 数列为常数数列,,数列为等差数列(3)先求数列通项公式:由(2)知,数列为等差数列,设公差为,则由条件,得,又数列的各项为正数,,,
若存在p,r使,,成等差数列,则所以;当k=1时,,舍去;当k≥2时,令p=2k-1得r=kp=k(2k-1),满足k<p<r.
试题解析:解:(1)由条件,设
令,得①,令,得②
①—②,得 , ,
4分
(2), ,
两式相减得 7分
数列为常数数列,
, 数列为等差数列. 10分
(3)由(2)知,数列为等差数列,设公差为,
则由条件,得
,又数列的各项为正数,
,,. 12分
当k=1时,若存在p,r使,,成等差数列,则
与矛盾.因此,当k=1时,不存在. 14分
当k≥2时,则所以
令p=2k-1得r=kp=k(2k-1),满足k<p<r.
综上所述,当k=1时,不存在p,r;
当k≥2时,存在一组p=2k-1,r=k(2k-1)满足题意. 16分
考点:等差数列