- 试题详情及答案解析
- 如图，在四棱锥
中，底面
是矩形，侧棱PD⊥底面，
，
是
的中点，作
⊥
交于点
.
（1）证明：
∥平面
；
（2）证明：⊥平面
.- 答案：（1）详见解析（2）详见解析
- 试题分析：（1）证明线面平行，往往利用其判定定理进行证明，即先证PA平行于平面
某一条直线，这可根据三角形中位线性质得到：连结
交
与
，连结
，则点是的中点. 又∵
是
的中点，∴
∥.而
平面
，
平面，∴∥平面
（2）证明线面垂直，往往利用其判定定理进行证明，即先证垂直平面内两条相交直线：已知⊥，只需证
⊥
.由于⊥，因此只需证
⊥，又由于
⊥，只需证
⊥，这可由⊥底面
得到.
试题解析：证明：(1)连结交与，连结.
∵底面是矩形，
∴点是的中点.
又∵是的中点
∴在△
中，为中位线
∴∥.
而平面，平面，
∴∥平面. 7分
(2)由⊥底面，得⊥.
∵底面是正方形，
∴⊥，
∴⊥平面
. 而
平面，
∴⊥.①
∵
，
是的中点，
∴△是等腰三角形， ⊥.②
由①和②得⊥平面
.
而
平面，∴⊥.
又
⊥且
=，
∴⊥平面
. 14分
考点：线面平行与垂直的判定定理