- 试题详情及答案解析
- 若数列
的各项均为正数，
，
为常数，且
.
（1）求
的值；
（2）证明：数列为等差数列；
（3）若
，对任意给定的k∈N*，是否存在p，r∈N*(k<p<r)使
，
，
成等差数列？若存在，用k分别表示一组p和r；若不存在，请说明理由．- 答案：（1）2（2）详见解析（3）当k＝1时，不存在p，r；当k≥2时，存在一组p＝2k－1，r＝k(2k－1)满足题意．
- 试题分析：（1）令
，得
①，令
，得
②，①—②，得 
， 
，
（2）证明数列为等差数列，一般利用定义进行证明，由（1）推导过程知：
， 
，两式相减得 
数列
为常数数列，
，数列为等差数列（3）先求数列通项公式：由（2）知，数列为等差数列，设公差为
，则由条件
，得
，又数列的各项为正数，
，
，
若存在p，r使，，成等差数列，则
所以
；当k＝1时，
，舍去；当k≥2时，令p＝2k－1得r＝kp＝k(2k－1)，满足k<p<r．
试题解析：解：（1）由条件，设
令，得①，令，得②
①—②，得 ， ，
4分
（2）， ，
两式相减得 7分
数列为常数数列，
， 数列为等差数列. 10分
（3）由（2）知，数列为等差数列，设公差为，
则由条件，得
，又数列的各项为正数，
，，. 12分
当k＝1时，若存在p，r使，，成等差数列，则
与
矛盾．因此，当k＝1时，不存在． 14分
当k≥2时，则所以
令p＝2k－1得r＝kp＝k(2k－1)，满足k<p<r．
综上所述，当k＝1时，不存在p，r；
当k≥2时，存在一组p＝2k－1，r＝k(2k－1)满足题意． 16分
考点：等差数列