- 试题详情及答案解析
- （本题满分12分）如图，椭圆
的一个 焦点是F（1，0），O为坐标原点.
（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点F的直线
交椭圆于A、B两点，若直线绕点F任意转动，恒有
, 求
的取值范围.- 答案：（Ⅰ）
；（Ⅱ）（
，+
） - 试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体解法是先确定焦点的位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．（Ⅱ）设出直线的方程，代入椭圆方程联立得到关于A、B坐标关系；本题采用两种不同的直线设法，注意讨论相应的情况.
试题解析：解法一：(Ⅰ)设M，N为短轴的两个三等分点，因为△MNF为正三角形，
所以
, 即1＝
因此，椭圆方程为
(Ⅱ)设
(ⅰ)当直线 AB与x轴重合时，
(ⅱ)当直线AB不与x轴重合时，设直线AB的方程为：
整理得
所以
因为恒有，所以
AOB恒为钝角.
即
恒成立.
又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0对m
R恒成立，即a2b2m2> a2 -a2b2+b2对mR恒成立.
当mR时，a2b2m2最小值为0，所以a2- a2b2+b2<0. a2<a2b2- b2, a2<( a2-1)b2= b4,
因为a>0,b>0,所以a<b2,即a2-a-1>0,
解得a>或a<
(舍去)，即a>,
综合（i）(ii)，a的取值范围为（，+）.
解法二：
（Ⅰ）同解法一，
（Ⅱ）解：（i）当直线l垂直于x轴时，
x=1代入
=1.
因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,2(1+yA2) <4 yA2, yA2>1，即
>1,
解得a>或a<(舍去)，即a>.
（ii）当直线l不垂直于x轴时，设A（x1,y1）, B（x2,y2）.
设直线AB的方程为y=k(x-1)代入
得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+ a2 k2- a2 b2=0,
故x1+x2=
因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,
所以x21+y21+ x22+ y22<( x2-x1)2+(y2-y1)2,
得x1x2+ y1y2<0恒成立.
x1x2+ y1y2= x1x2+k2(x1-1) (x2-1)=(1+k2) x1x2-k2(x1+x2)+ k2
=(1+k2)
.
由题意得（a2- a2 b2+b2）k2- a2 b2<0对kR恒成立.
①当a2- a2 b2+b2>0时，不合题意；
②当a2- a2 b2+b2=0时，a=;
③当a2- a2 b2+b2<0时，a2- a2(a2-1)+ (a2-1)<0，a4- 3a2 +1>0,
解得a2>
或a2>
（舍去），a>，因此a
.
综合（i）（ii），a的取值范围为（，+）
考点：椭圆的综合应用